↑ Pais 1982, ch. 9 đến 15, Janssen 2005; tập hợp những bài báo cập nhật và những nghiên cứu hiện nay, bao gồm cả các bài báo gốc có trong Renn 2007; bài đánh giá có trong Renn 2005, tr. 110ff. Những bài viết sớm nhất của Einstein gồm Einstein 1907, và Pais 1982, ch. 9. Bài báo quan trọng ông miêu tả phương trình trường của mình trong Einstein 1915, và Pais 1982, ch. 11–15
↑ Như báo cáo trong Gamow 1970. Einstein bác bỏ hằng số vũ trụ học là quá sớm, ông đã không suy nghĩ cẩn thận hơn về hằng số này, xem Vũ trụ học bên dưới
↑ Xem Rindler 2001, ph 1.13; đối với cách miêu tả đại chúng xem Wheeler 1990, ch 2; cũng có sự khác nhau giữa phiên bản hiện đại của nguyên lý và khái niệm ban đầu mà Einstein đã sử dụng khi tìm kiếm lý thuyết rộng, xem Norton 1985
↑ Ehlers 1973, tr. 19–22; đối với nội dung suy ra phương trình trường, xem phần 1 và 2 của ch. 7 trong Weinberg 1972. Trong đa tạp không thời gian bốn chiều, tenxơ Einstein là tenxơ duy nhất thỏa mãn phân kỳ tự do với nó là hàm tổ hợp của tenxơ mêtric, cũng như đạo hàm riêng bậc nhất và bậc hai của tenxơ mêtric, do vậy cho phép không thời gian của thuyết tương đối hẹp như là một nghiệm của phương trình trường khi không có nguồn hấp dẫn, xem Lovelock 1972. Tenxơ ở cả hai vế là tenxơ hạng hai, do đó chúng có thể được biểu diễn bằng ma trận 4×4, mỗi ma trận chứa mười thành phần độc lập; và do đó phương trình trường Einstein là hệ có 10 phương trình. Cụ thể hơn nữa, theo hệ quả của mối liên hệ hình học là đồng nhất thức Bianchi, tenxơ Einstein tự thỏa mãn bốn đồng nhất thức này và do đó giảm số phương trình độc lập của phương trình trường xuống còn sáu, xem Schutz 1985, ph. 8.3
↑ Về sự khó khăn (khái niệm và lịch sử) trong xác định nguyên lý tương đối tổng quát và phân biệt nó với nguyên lý hiệp biến tổng quát, xem Giulini 2006b
↑ Rindler 2001, tr. 24–26 và pp. 236–237 và Ohanian & Ruffini 1994, tr. 164–172. Einstein suy luận ra hiệu ứng này nhờ sử dụng nguyên lý tương đương vào đầu năm 1907, xem Einstein 1907 và quá trình tìm kiến thuyết tương đối rộng trong Pais 1982, tr. 196–198
↑ Thời gian trên hệ GPS liên tục được so sánh giữa đồng hồ nguyên tử đặt trên vệ tinh và dưới mặt đất; thảo luận về những hiệu ứng tương đối tính có trong Ashby 2002 và Ashby 2003
↑ Đây không phải là một tiên đề độc lập; tính bất biến này có thể suy ra từ phương trình trường Einstein và Lagrangian cho phương trình Maxwell sử dụng xấp xỉ WKB, xem Ehlers 1973, ph. 5
↑ Trong Rindler 2001, ph. 1.16; đối với ví dụ lịch sử Israel 1987, tr. 202–204; thực ra Einstein đã phát hiện sự lệch ánh sáng truyền qua thang máy rơi tự do trong Einstein 1907 nhưng giá trị ông thu được ban đầu chỉ bằng một nửa giá trị khi ông đã tìm ra được phương trình trường năm 1915. Một số tính toán giả sử không thời gian là không gian Euclid có trong Ehlers & Rindler 1997
↑ Xét về bản chất theo lý thuyết tương đối tổng quát Einstein, những tính toán độ lệch ánh sáng dựa vào sự rơi tự do chỉ tính đến ảnh hưởng của hấp dẫn lên thời gian, mà không tính đến ảnh hưởng của hấp dẫn làm cong không gian, xem Rindler 2001, ph. 11.11
↑ Đối với trường hấp dẫn Mặt Trời sử dụng tính hiệu rada phản xạ từ các hành tinh như Sao Kim và Sao Thủy xem Shapiro 1964, Weinberg 1972, ch. 8, ph. 7; đối với các tín hiệu chủ động phản hồi từ các tàu không gian (đo phát đáp tín hiệu) xem Bertotti, Iess & Tortora 2003; đánh giá tổng quan xem Ohanian & Ruffini 1994, table 4.4 ở tr. 200; đối với những phép đo gần đây sử dụng tín hiệu từ các pulsar trong hệ đôi, trường hấp dẫn từ một pulsar đồng hành làm trễ thời gian truyền tín hiệu từ pulsar kia xem Stairs 2003, ph. 4.4
↑ Đã có quan sát gián tiếp xác nhận sự tồn tại của sóng hấp dẫn thông qua sự mất mát năng lượng trong hệ pulsar đôi như hệ pulsar Hulse–Taylor, mà nhờ các quan sát này mà hai ông đã nhận giải Nobel Vật lý năm 1993. Hiện nay đang có nhiều dự án nhằm đo được trực tiếp hiệu ứng của sóng hấp dẫn. Về thực nghiệm sóng hấp dẫn xem Misner, Thorne & Wheeler 1973, part VIII. Không giống như sóng điện từ, đóng góp chủ yếu của sóng hấp dẫn không phải là lưỡng cực, mà là tứ cực; xem Schutz 2001
↑ Hầu hết các sách viết về thuyết tương đối rộng nâng cao đều có chương miêu tả phương pháp suy luận cũng như tính chất của sóng hấp dẫn, ví dụ xem Schutz 1985, ch. 9
↑ Xem Lehner 2002 với giới thiệu ngắn về phương pháp mô phỏng số thuyết tương đối rộng, và Seidel 1998 cho sự liên hệ với thiên văn quan sát sóng hấp dẫn.
↑ Hệ quả là, trong hình thức tham số hóa hậu Newton (PPN), các đo đạc về hiệu ứng này xác định lên giá trị tổ hợp tuyến tính của hai số hạng β và γ xem Will 2006, ph. 3.5 và Will 1993, ph. 7.3
↑ Về cơ chế cơ bản, xem Carroll & Ostlie 1996, ph. 17.2; về những loại thiên thể khác nhau có liên quan đến quá trình bồi tụ xem Robson 1996
↑ Xem Begelman, Blandford & Rees 1984. Đối với một quan sát viên ở xa, đôi khi chùm tia này hiện lên như chuyển động nhanh hơn ánh sáng; và điều này đã được giải thích như là một ảo ảnh quang học mà không vi phạm thuyết tương đối, xem Rees 1966
↑ Đối với trạng thái tiến hóa cuối cùng của ngôi sao xem Oppenheimer & Snyder 1939 và cho mô phỏng số Font 2003, ph. 4.1; đối với các siêu tân tinh vẫn còn những vấn đề mở như miêu tả trong Buras và đồng nghiệp 2003; về mô phỏng quá trình bồi tụ và hình thành tia tương đối tính xem Font 2003, ph. 4.2. Cũng vậy, hiệu ứng thấu kính hấp dẫn có vai trò quan trọng trong tín hiệu thu được từ các pulsar phát ra tia X, xem Kraus 1998
↑ Chứng cứ bao gồm giới hạn về vùng rất nhỏ từ các quan sát hiện tượng bồi tụ, xem Celotti, Miller & Sciama 1999, hoặc các quan sát về chuyển động các ngôi sao xung quanh một vùng rất nhỏ ở trung tâm của Ngân Hà xem Schödel và đồng nghiệp 2003, và hệ quả gián tiếp về quan sát những thiên thể nén đặc, các bùng nổ tia X mà những vật thể ở trung tâm hoặc là sao neutron hoặc là lỗ đen khối lượng sao; xem Remillard và đồng nghiệp 2006 và Narayan 2006, ph. 5. Quan sát chân trời sự kiện của lỗ đen ở trung tâm Ngân Hà cũng đang được tiến hành, xem Falcke, Melia & Agol 2000
↑ Xem Bergström & Goobar 2003, ch. 9–11; dựa trên thực tế quan sát là ở thang khoảng cách lớn trên 100 Mpc, vũ trụ của chúng ta hiện ra với vật chất và bức xạ phân bố gần như đồng nhất và không theo một hướng ưu tiên nào, đẳng hướng; xem Peebles và đồng nghiệp 1991. Tuy vậy kết quả quan sát gần đây từ tàu Planck cho thấy vũ trụ gần đồng nhất và hơi phi đẳng hướng.
↑ Bằng chứng cho vật chất tối được suy ra từ các tham số vũ trụ học và những quan sát từ động lực của các thiên hà, siêu đám thiên hà xem Peebles 1993, ch. 18, thông qua hiện tượng thấu kính hấp dẫn xem Peacock 1999, ph. 4.6, và thông qua mô phỏng cấu trúc lớn vũ trụ xem Springel và đồng nghiệp 2005
↑ Có nghĩa là, một số nhà vật lý đặt ra câu hỏi liệu vật chất tối có thực sự tồn tại hay lý thuyết tương đối tổng quát của Einstein (và lý thuyết Newton) có một số sai lệch khi miêu tả hấp dẫn trên khoảng cách vũ trụ, xem Mannheim 2006, ph. 9
↑ Carroll 2001; bài viết tổng quan ở trang web Caldwell 2004. Ở dạng năng lượng này cũng vậy, các nhà khoa học tranh luận rằng chứng cứ này có thể không cần thiết phải đòi hỏi dạng năng lượng tối mà thay vào đó cần một lý thuyết mới về trường hấp dẫn cho mô hình vũ trụ học, xem Mannheim 2006, ph. 10; cũng có những điều chỉnh mà không cần phải thay thế thuyết tương đối tổng quát, ví dụ, các nhà vật lý có thể sử dụng giả thiết sự không đồng nhất và phi đẳng hướng của vật chất trong vũ trụ, xem Buchert 2007
↑ Nguyên lý vũ trụ học chỉ giả thuyết vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng, chứ không nêu tại sao lại như vậy. Chính xác hơn, có những vấn đề bao gồm vấn đề độ phẳng, vấn đề chân trời,và vấn đề đơn cực; giới thiệu khái quát dễ hiểu có trong Narlikar 1993, ph. 6.4, cũng xem Börner 1993, ph. 9.1
↑ Cụ thể hơn, hàm thế năng có vai trò quan trọng trong động lực của sự lạm phát chỉ đơn giản là giả thuyết, chứ nó không được suy ra từ một lý thuyết vật lý nào
↑ Israel 1987. Phân tích chính xác bằng toán học cho thấy có một số kiểu chân trời, bao gồm chân trời sự kiện và chân trời biểu kiến xem Hawking & Ellis 1973, tr. 312–320 hoặc Wald 1984, ph. 12.2; không có một hình ảnh trực giác nào minh họa chân trời của một hệ cô lập mà không đòi hỏi kiến thức về tính chất của không thời gian ở vị trí vô tận, xem Ashtekar & Krishnan 2004
↑ Phát hiện ra lỗ đen, trên khuôn khổ cơ học lượng tử, phát ra bức xạ được chứng minh đầu tiên trong Hawking 1975; suy luận chi tiết có trong Wald 1975. Bài viết tổng quan trong Wald 2001, ch. 3
↑ Có một chú ý về thực tế quan trọng của hiện tượng kỳ dị giả quang học xuất hiện trong nhiều phương trình sóng, "sự tụ quang", được giải quyết khi cho các kết quả hữu hạn sau khi thay thế phương pháp xấp xỉ.
↑ Sự ẩn giấu của kỳ dị tương lai đối với quan sát viên ở xa có bản chất khác hẳn so với những kỳ dị quá khứ ở vũ trụ sơ khai như kỳ dị vụ nổ lớn, mà về nguyên lý chúng hiện ra dưới kính thiên văn của quan sát viên ở thời điểm sau khi diễn ra vụ nổ. Phỏng đoán sự kiểm duyệt vũ trụ được nêu ra lần đầu trong Penrose 1969; cuốn sách miêu tả về phỏng đoán này bao gồm Wald 1984, tr. 302–305. Về những kết quả mô phỏng trên siêu máy tính xem Berger 2002, ph. 2.1
↑ Gourgoulhon 2007; bài viết miêu tả cơ sở của mô phỏng số thuyết tương đối, bao gồm vấn đề xuất hiện các đặc điểm kỳ lạ của phương trình trường Einstein, xem Lehner 2001
↑ Komar 1959; trong giáo trình cho sinh viên cao học Wald 1984, ph. 11.2; mặc dù định nghĩa theo một cách hoàn toàn khác, có thể chứng minh sự tương đương giữa khối lượng Komar và khối lượng ADM trong không thời gian dừng, xem Ashtekar & Magnon-Ashtekar 1979
↑ Wald 1984, tr. 295 và các trang tiếp theo; đây là kết quả quan trọng cho câu hỏi về sự ổn định của hệ—nếu có trạng thái khối lượng âm, thì không gian chân không Minkowski phẳng với khối lượng không có thể hình thành lên từ những trạng thái khối lượng âm này.
↑ Định nghĩa khối lượng–năng lượng giả cục bộ bao gồm năng lượng Hawking, năng lượng Geroch, hoặc năng lượng-động lượng giả cục bộ Penrose dựa trên phương pháp twistor; xem bài báo Szabados 2004
↑ Nói đơn giản, vật chất là nguồn của độ cong không thời gian, và khi vật chất thể hiện đặc tính lượng tử, chúng ta cũng hy vọng rằng không thời gian cũng có tính chất như thế, Carlip 2001, ph. 2
↑ Đặc biệt, khi các nhà vật lý áp dụng kĩ thuật tái chuẩn hóa, hàm tích phân cho phép suy luận kết quả, và khi tính đến hiệu ứng năng lượng cao, trở lên không xác định và sai, xem Weinberg 1996, ch. 17, 18, và Goroff & Sagnotti 1985
↑ Ở mức năng lượng hiện tại mà các mày gia tốc đạt đến (14 TeV), những dây này không thể phân biệt được với các hạt điểm, nhưng có điểm quan trọng là, các mode dao động khác nhau của cùng một dây cơ bản sẽ hiện ra tương ứng với các hạt khác nhau (về điện tích cũng như các tính chất lượng tử khác), xem Ibanez 2000. Lý thuyết này thành công ở chỗ có một mode dao động của dây tương ứng với hạt lượng tử graviton, hạt giả thuyết truyền tương tác hấp dẫn, xem Green, Schwarz & Witten 1987, ph. 2.3, 5.3
↑ Bài viết tổng quan về nhiều vấn đề và các kỹ thuật được phát triển để vượt qua chúng, xem Lehner 2002
↑ Xem Bartusiak 2000 về miêu tả thiên văn sóng hấp dẫn trước đó; các tin tức cập nhật có thể tìm tại những trang web của các viện nghiên cứu cộng tác chính như GEO 600 và LIGO
